$a$ は正の定数とする。関数 $y=x^2 - 2x - 1$ ($0 \le x \le a$) について、最小値と最大値を求める問題です。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数とする。関数 $y=x^2 - 2x - 1$ ($0 \le x \le a$) について、最小値と最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 最小値を求める

まず、関数 $y = x^2 - 2x - 1$ を平方完成します。

$y = (x-1)^2 - 2$

この関数は下に凸な放物線で、頂点の座標は $(1, -2)$ です。

定義域 $0 \le x \le a$ における最小値を考えます。

- $a < 1$ のとき： 最小値は $x=a$ のとき $y = a^2 - 2a - 1$

- $a \ge 1$ のとき： 最小値は $x=1$ のとき $y = -2$

(2) 最大値を求める

定義域 $0 \le x \le a$ における最大値を考えます。

軸 $x=1$ から遠い方の端点が最大値を与えます。

- $0 < a < 2$ のとき： 最大値は $x=0$ のとき $y = -1$

- $a = 2$ のとき： 最大値は $x=0, 2$ のとき $y = -1$

- $a > 2$ のとき： 最大値は $x=a$ のとき $y = a^2 - 2a - 1$

3. 最終的な答え

(1) 最小値

- $a < 1$ のとき： $a^2 - 2a - 1$

- $a \ge 1$ のとき： $-2$

(2) 最大値

- $0 < a \le 2$ のとき： $-1$

- $a > 2$ のとき： $a^2 - 2a - 1$