関数 $y = |x-1| - 2|x+1|$ の $-4 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = |x-1| - 2|x+1|$ の $-4 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

絶対値記号を外すために、場合分けを行う。

(i) $x < -1$ のとき、$|x-1| = -(x-1)$, $|x+1| = -(x+1)$ なので、

$y = -(x-1) - 2(-(x+1)) = -x+1 + 2x + 2 = x+3$。

$-4 \le x < -1$ における $y$ の範囲は $-1 \le y < 2$。

(ii) $-1 \le x < 1$ のとき、$|x-1| = -(x-1)$, $|x+1| = x+1$ なので、

$y = -(x-1) - 2(x+1) = -x+1 - 2x - 2 = -3x - 1$。

$-1 \le x < 1$ における $y$ の範囲は $-4 < y \le 2$。

(iii) $1 \le x \le 2$ のとき、$|x-1| = x-1$, $|x+1| = x+1$ なので、

$y = (x-1) - 2(x+1) = x-1 - 2x - 2 = -x - 3$。

$1 \le x \le 2$ における $y$ の範囲は $-5 \le y \le -4$。

以上の結果をまとめると、

$y = \begin{cases} x+3 & (-4 \le x < -1) \\ -3x-1 & (-1 \le x < 1) \\ -x-3 & (1 \le x \le 2) \end{cases}$

となる。

$x=-4$ のとき、$y=-1$。

$x=-1$ のとき、$y=-3(-1)-1=2$。

$x=1$ のとき、$y=-1-3=-4$。

$x=2$ のとき、$y=-2-3=-5$。

したがって、

最大値は $2$ ($x=-1$ のとき)。

最小値は $-5$ ($x=2$ のとき)。

3. 最終的な答え

最大値: 2

最小値: -5