$a$ を実数の定数とし、2次方程式 $x^2 - 2ax + 3a - 2 = 0$ を考える。 (ア) この方程式が異なる2つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求める。 (イ) この方程式が正の解と負の解をもつような $a$ の値の範囲を求める。 (ウ) この方程式が異なる2つの正の解をもつような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$a$ を実数の定数とし、2次方程式 $x^2 - 2ax + 3a - 2 = 0$ を考える。

(ア) この方程式が異なる2つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求める。

(イ) この方程式が正の解と負の解をもつような $a$ の値の範囲を求める。

(ウ) この方程式が異なる2つの正の解をもつような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(ア) 異なる2つの実数解をもつ条件は、判別式 $D > 0$ である。

$D = (-2a)^2 - 4(3a - 2) = 4a^2 - 12a + 8 = 4(a^2 - 3a + 2) = 4(a - 1)(a - 2) > 0$

よって、$(a - 1)(a - 2) > 0$ より、$a < 1$ または $a > 2$

(イ) 正の解と負の解をもつ条件は、解と係数の関係より、$x_1 x_2 < 0$ である。

$x_1 x_2 = 3a - 2 < 0$

よって、$a < \frac{2}{3}$

(ウ) 異なる2つの正の解をもつ条件は、

(i) 判別式 $D > 0$

(ii) 解の和 $x_1 + x_2 > 0$

(iii) 解の積 $x_1 x_2 > 0$

を満たすことである。

(i) $D > 0$ より、$a < 1$ または $a > 2$

(ii) $x_1 + x_2 = 2a > 0$ より、$a > 0$

(iii) $x_1 x_2 = 3a - 2 > 0$ より、$a > \frac{2}{3}$

これらを全て満たすのは、$\frac{2}{3} < a < 1$ または $a > 2$

3. 最終的な答え

(ア) $a < 1$ または $a > 2$

(イ) $a < \frac{2}{3}$

(ウ) $\frac{2}{3} < a < 1$ または $a > 2$