2次関数 $y = ax^2 - x + a$ について、 (1) グラフが $x$ 軸と接するときの $a$ の値を求める。 (2) 関数の値がすべての $x$ に対して負となるときの $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = ax^2 - x + a$ について、

(1) グラフが $x$ 軸と接するときの $a$ の値を求める。

(2) 関数の値がすべての $x$ に対して負となるときの $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) グラフが $x$ 軸と接するとき、2次方程式 $ax^2 - x + a = 0$ は重解を持つ。

このとき、判別式 $D = (-1)^2 - 4(a)(a) = 1 - 4a^2 = 0$ となる。

$1 - 4a^2 = 0$ を解くと、

$4a^2 = 1$

$a^2 = \frac{1}{4}$

$a = \pm \frac{1}{2}$

$a = 0$のときは2次関数にならないので、$a \neq 0$。

(2) 関数の値がすべての $x$ に対して負となる条件は、

(i) $a < 0$ (上に凸)

(ii) 判別式 $D < 0$ ( $x$ 軸と交わらない)

である。

(i)より、$a<0$

(ii)より、$D = 1 - 4a^2 < 0$

$4a^2 > 1$

$a^2 > \frac{1}{4}$

$a < -\frac{1}{2}$ または $a > \frac{1}{2}$

(i)と(ii)を同時に満たすのは、$a < -\frac{1}{2}$ である。

$a = \frac{1}{2}$ のとき、$y = \frac{1}{2}x^2 - x + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(x-1)^2 \geq 0$ となり、すべての $x$ に対して負にはならない。

$a = -\frac{1}{2}$ のとき、$y = -\frac{1}{2}x^2 - x - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}(x+1)^2 \leq 0$ となり、すべての $x$ に対して負ではない。 $x=-1$のとき、$y=0$となる。

したがって、

(1) グラフが $x$ 軸と接するとき $a = \pm \frac{1}{2}$。

(2) 関数の値がすべての $x$ に対して負となるのは、$a < -\frac{1}{2}$ のときである。

ただし、$a = \pm \frac{1}{2}$ のとき、2次関数が $x$ 軸と接するので、

$y = ax^2 - x + a$ は常に負となることはない。

したがって、$y < 0$ となるためには、$a<0$ かつ $1 - 4a^2 < 0$ が必要である。

これは、$a<-\frac{1}{2}$ を意味する。

3. 最終的な答え

$a = \pm \frac{1}{2}$

$a < -\frac{1}{2}$