2次関数 $y = ax^2 + 4ax + b$ が $-1 \le x \le 2$ の範囲で最大値5、最小値1を取る時の定数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = ax^2 + 4ax + b$ が $-1 \le x \le 2$ の範囲で最大値5、最小値1を取る時の定数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = a(x^2 + 4x) + b$

$y = a(x^2 + 4x + 4 - 4) + b$

$y = a(x + 2)^2 - 4a + b$

軸は $x = -2$ となります。定義域は $-1 \le x \le 2$ なので、軸は定義域の外にあります。

$a > 0$ のとき、下に凸のグラフになるので、$x = -1$ で最小値1をとり、$x = 2$ で最大値5をとります。

$a < 0$ のとき、上に凸のグラフになるので、$x = 2$ で最小値1をとり、$x = -1$ で最大値5をとります。

(i) $a > 0$ の場合

$x = -1$ で最小値1なので、

$a(-1)^2 + 4a(-1) + b = 1$

$a - 4a + b = 1$

$-3a + b = 1$ (1)

$x = 2$ で最大値5なので、

$a(2)^2 + 4a(2) + b = 5$

$4a + 8a + b = 5$

$12a + b = 5$ (2)

(2) - (1) より

$15a = 4$

$a = \frac{4}{15}$

(1) に代入して

$-3(\frac{4}{15}) + b = 1$

$-\frac{4}{5} + b = 1$

$b = 1 + \frac{4}{5} = \frac{9}{5}$

よって、$a = \frac{4}{15}$, $b = \frac{9}{5}$

(ii) $a < 0$ の場合

$x = 2$ で最小値1なので、

$12a + b = 1$ (3)

$x = -1$ で最大値5なので、

$-3a + b = 5$ (4)

(4) - (3) より

$-3a - 12a = 5 - 1$

$-15a = 4$

$a = -\frac{4}{15}$

(4) に代入して

$-3(-\frac{4}{15}) + b = 5$

$\frac{4}{5} + b = 5$

$b = 5 - \frac{4}{5} = \frac{21}{5}$

よって、$a = -\frac{4}{15}$, $b = \frac{21}{5}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{4}{15}, b = \frac{9}{5}$ または $a = -\frac{4}{15}, b = \frac{21}{5}$