2次関数 $f(x) = 2x^2 - 4ax + 4a^2 + 7a - 30$ のグラフと $x$ 軸との共有点の個数を、実数 $a$ の値に応じて求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = 2x^2 - 4ax + 4a^2 + 7a - 30$ のグラフと $x$ 軸との共有点の個数を、実数 $a$ の値に応じて求める問題です。

2. 解き方の手順

2次関数 $y = f(x)$ のグラフと $x$ 軸との共有点の個数は、2次方程式 $f(x) = 0$ の実数解の個数に等しいです。

したがって、$f(x) = 2x^2 - 4ax + 4a^2 + 7a - 30 = 0$ の判別式を $D$ とすると、

$D/4 = (-2a)^2 - 2(4a^2 + 7a - 30) = 4a^2 - 8a^2 - 14a + 60 = -4a^2 - 14a + 60 = -2(2a^2 + 7a - 30) = -2(2a-5)(a+6)$

(i) $D/4 > 0$ のとき、つまり $-2(2a-5)(a+6) > 0$ のとき、

$(2a-5)(a+6) < 0$ より、$-6 < a < 5/2$ のとき、共有点は2個。

(ii) $D/4 = 0$ のとき、つまり $-2(2a-5)(a+6) = 0$ のとき、

$(2a-5)(a+6) = 0$ より、$a = -6$ または $a = 5/2$ のとき、共有点は1個。

(iii) $D/4 < 0$ のとき、つまり $-2(2a-5)(a+6) < 0$ のとき、

$(2a-5)(a+6) > 0$ より、$a < -6$ または $a > 5/2$ のとき、共有点は0個。

3. 最終的な答え

-6 < a < 5/2 のとき2個

a = -6 または a = 5/2 のとき1個

それ以外の場合、共有点はない。

ア = -6, イ = 5/2