与えられた二次関数について、最大値または最小値を求める問題です。 練習15の関数：$y = -2x^2 - 4x$ 練習16(1)の関数：$y = x^2 + 6x + 5$ 練習16(2)の関数：$y = -2x^2 + 5x - 2$

1. 問題の内容

与えられた二次関数について、最大値または最小値を求める問題です。

練習15の関数：$y = -2x^2 - 4x$

練習16(1)の関数：$y = x^2 + 6x + 5$

練習16(2)の関数：$y = -2x^2 + 5x - 2$

2. 解き方の手順

それぞれの二次関数を平方完成の形に変形し、頂点の座標を求めます。

$y = a(x - p)^2 + q$ の形に変形します。

$a > 0$ のとき、下に凸のグラフになり、最小値を持ちます。最小値は $q$ です。

$a < 0$ のとき、上に凸のグラフになり、最大値を持ちます。最大値は $q$ です。

練習15: $y = -2x^2 - 4x$

$y = -2(x^2 + 2x)$

$y = -2(x^2 + 2x + 1 - 1)$

$y = -2((x + 1)^2 - 1)$

$y = -2(x + 1)^2 + 2$

頂点は $(-1, 2)$ で、上に凸のグラフなので最大値を持ちます。

練習16(1): $y = x^2 + 6x + 5$

$y = (x^2 + 6x + 9 - 9) + 5$

$y = (x + 3)^2 - 9 + 5$

$y = (x + 3)^2 - 4$

頂点は $(-3, -4)$ で、下に凸のグラフなので最小値を持ちます。

練習16(2): $y = -2x^2 + 5x - 2$

$y = -2(x^2 - \frac{5}{2}x) - 2$

$y = -2(x^2 - \frac{5}{2}x + (\frac{5}{4})^2 - (\frac{5}{4})^2) - 2$

$y = -2((x - \frac{5}{4})^2 - \frac{25}{16}) - 2$

$y = -2(x - \frac{5}{4})^2 + \frac{25}{8} - 2$

$y = -2(x - \frac{5}{4})^2 + \frac{25}{8} - \frac{16}{8}$

$y = -2(x - \frac{5}{4})^2 + \frac{9}{8}$

頂点は $(\frac{5}{4}, \frac{9}{8})$ で、上に凸のグラフなので最大値を持ちます。

3. 最終的な答え

練習15: 最大値 2 ($x = -1$ のとき)

練習16(1): 最小値 -4 ($x = -3$ のとき)

練習16(2): 最大値 $\frac{9}{8}$ ($x = \frac{5}{4}$ のとき)