$a$ と $x$ を実数とするとき、不等式 $x^2 - (a^2 + a - 2)x + a^3 - 2a < 0$ を解く。

1. 問題の内容

$a$ と $x$ を実数とするとき、不等式 $x^2 - (a^2 + a - 2)x + a^3 - 2a < 0$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を因数分解することを試みます。定数項を因数分解すると、

$a^3 - 2a = a(a^2 - 2)$

となります。次に、$a^2 + a - 2$ を因数分解すると、

$a^2 + a - 2 = (a + 2)(a - 1)$

となります。与えられた不等式を因数分解できる形に変形するため、

$x^2 - (a^2 + a - 2)x + a^3 - 2a = x^2 - (a + 2)(a - 1)x + a(a^2 - 2)$

となります。

この式をさらに因数分解することを考えます。不等式の左辺を $f(x)$ とおきます。

$f(x) = x^2 - (a^2 + a - 2)x + a^3 - 2a < 0$

$f(x)$ が $(x - a)$ という因数を持つと仮定すると、$f(a) = 0$ となるはずです。

$f(a) = a^2 - (a^2 + a - 2)a + a^3 - 2a = a^2 - a^3 - a^2 + 2a + a^3 - 2a = 0$

したがって、$x - a$ は $f(x)$ の因数です。

$f(x)$ を $x - a$ で割ることを考えます。

$x^2 - (a^2 + a - 2)x + a^3 - 2a = (x - a)(x - (a^2 - 2))$

したがって、与えられた不等式は、

$(x - a)(x - (a^2 - 2)) < 0$

となります。

ここで、$a < a^2 - 2$ と $a > a^2 - 2$ と $a = a^2 - 2$ の場合に分けて考えます。

まず、$a < a^2 - 2$ の場合、不等式の解は $a < x < a^2 - 2$ となります。

次に、$a > a^2 - 2$ の場合、不等式の解は $a^2 - 2 < x < a$ となります。

最後に、$a = a^2 - 2$ の場合、不等式の解は存在しません。なぜなら $(x - a)^2 < 0$ となり、これは常に偽となるからです。

$a = a^2 - 2$ を解くと、$a^2 - a - 2 = 0$ より $(a - 2)(a + 1) = 0$ となるので、$a = 2, -1$ となります。

$a < a^2 - 2$ を解くと、$a^2 - a - 2 > 0$ より $(a - 2)(a + 1) > 0$ となるので、$a < -1$ または $a > 2$ となります。

$a > a^2 - 2$ を解くと、$a^2 - a - 2 < 0$ より $(a - 2)(a + 1) < 0$ となるので、$-1 < a < 2$ となります。

したがって、$a < -1$ または $a > 2$ のとき、$a < x < a^2 - 2$ です。

$-1 < a < 2$ のとき、$a^2 - 2 < x < a$ です。

$a = 2, -1$ のとき、解は存在しません。

3. 最終的な答え

$a < -1$ または $a > 2$ のとき、$a < x < a^2 - 2$

$-1 < a < 2$ のとき、$a^2 - 2 < x < a$

$a = -1, 2$ のとき、解なし。