次の漸化式で定義される数列の一般項 $a_n$ を求めます。 (1) $a_1 = 4, a_{n+1} = a_n - 3$ (2) $a_1 = 5, a_{n+1} = 2a_n$ (3) $a_1 = 1, a_{n+1} = a_n + 2^n$ (4) $a_1 = 3, a_{n+1} = 3a_n + 2$ (5) $a_1 = 1, a_2 = 4, a_{n+2} + a_{n+1} - 6a_n = 0$

1. 問題の内容

次の漸化式で定義される数列の一般項 $a_n$ を求めます。

(1) $a_1 = 4, a_{n+1} = a_n - 3$

(2) $a_1 = 5, a_{n+1} = 2a_n$

(3) $a_1 = 1, a_{n+1} = a_n + 2^n$

(4) $a_1 = 3, a_{n+1} = 3a_n + 2$

(5) $a_1 = 1, a_2 = 4, a_{n+2} + a_{n+1} - 6a_n = 0$

2. 解き方の手順

(1) $a_1 = 4, a_{n+1} = a_n - 3$

これは等差数列であり、初項が4、公差が-3です。

したがって、一般項は

$a_n = a_1 + (n-1)d = 4 + (n-1)(-3) = 4 - 3n + 3 = 7 - 3n$.

(2) $a_1 = 5, a_{n+1} = 2a_n$

これは等比数列であり、初項が5、公比が2です。

したがって、一般項は

$a_n = a_1 r^{n-1} = 5 \cdot 2^{n-1}$.

(3) $a_1 = 1, a_{n+1} = a_n + 2^n$

階差数列として考えます。

$a_{n+1} - a_n = 2^n$

$n \geq 2$ のとき

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k = 1 + \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2 - 1} = 1 + 2^n - 2 = 2^n - 1$

$n = 1$ のとき、$a_1 = 2^1 - 1 = 1$ となり、一致します。

したがって、一般項は $a_n = 2^n - 1$.

(4) $a_1 = 3, a_{n+1} = 3a_n + 2$

$a_{n+1} + 1 = 3(a_n + 1)$

$b_n = a_n + 1$ とおくと、$b_{n+1} = 3b_n$

$b_1 = a_1 + 1 = 3 + 1 = 4$

$b_n = 4 \cdot 3^{n-1}$

$a_n = b_n - 1 = 4 \cdot 3^{n-1} - 1$.

(5) $a_1 = 1, a_2 = 4, a_{n+2} + a_{n+1} - 6a_n = 0$

特性方程式は $x^2 + x - 6 = 0$

$(x + 3)(x - 2) = 0$

$x = -3, 2$

$a_n = A(-3)^n + B(2)^n$

$a_1 = -3A + 2B = 1$

$a_2 = 9A + 4B = 4$

$(-3A + 2B) \cdot (-2) = 6A - 4B = -2$

$9A + 4B = 4$

$15A = 2$

$A = \frac{2}{15}$

$-3 \cdot \frac{2}{15} + 2B = 1$

$-\frac{2}{5} + 2B = 1$

$2B = \frac{7}{5}$

$B = \frac{7}{10}$

$a_n = \frac{2}{15}(-3)^n + \frac{7}{10}(2)^n$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 7 - 3n$

(2) $a_n = 5 \cdot 2^{n-1}$

(3) $a_n = 2^n - 1$

(4) $a_n = 4 \cdot 3^{n-1} - 1$

(5) $a_n = \frac{2}{15}(-3)^n + \frac{7}{10}(2)^n$