数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とするとき、 $2S_n = 3a_n - 2$ が成り立つ。 (1) $a_{n+1} = 3a_n$ であることを示す。 (2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とするとき、 $2S_n = 3a_n - 2$ が成り立つ。

(1) $a_{n+1} = 3a_n$ であることを示す。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$2S_n = 3a_n - 2$ ...(1)

$2S_{n+1} = 3a_{n+1} - 2$ ...(2)

(2) - (1) より、

$2(S_{n+1} - S_n) = 3(a_{n+1} - a_n)$

$2a_{n+1} = 3a_{n+1} - 3a_n$

$a_{n+1} = 3a_n$

(2)

$n=1$ のとき、 $2S_1 = 3a_1 - 2$。 $S_1 = a_1$ なので、 $2a_1 = 3a_1 - 2$。 よって、 $a_1 = 2$。

(1)より、$a_{n+1} = 3a_n$ なので、数列 $\{a_n\}$ は初項 $2$、公比 $3$ の等比数列である。

したがって、$a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$。

3. 最終的な答え

(1) $a_{n+1} = 3a_n$

(2) $a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$