$a > 0$ を定数とする。2次関数 $y = -x^2 + 6x + 4$ （$0 \le x \le a$）について、 (1) グラフの頂点の座標を求めよ。 (2) 最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$a > 0$ を定数とする。2次関数 $y = -x^2 + 6x + 4$ （$0 \le x \le a$）について、

(1) グラフの頂点の座標を求めよ。

(2) 最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた2次関数 $y = -x^2 + 6x + 4$ を平方完成する。

$y = -(x^2 - 6x) + 4$

$y = -(x^2 - 6x + 9 - 9) + 4$

$y = -(x - 3)^2 + 9 + 4$

$y = -(x - 3)^2 + 13$

よって、頂点の座標は $(3, 13)$ である。

(2) 頂点のx座標が3なので、定義域 $0 \le x \le a$ と3の位置関係によって最大値が異なる。

(i) $0 < a < 3$ のとき

$x = 0$ で最大値をとる。

$y = -0^2 + 6(0) + 4 = 4$

(ii) $a = 3$ のとき

$x = 0$ で最大値をとる。

$y = -0^2 + 6(0) + 4 = 4$

(iii) $a > 3$ のとき

$x = 3$ で最大値をとる。

$y = -(3 - 3)^2 + 13 = 13$

したがって、

$0 < a \le 3$ のとき、最大値は4

$a > 3$ のとき、最大値は13

3. 最終的な答え

(1) グラフの頂点の座標: $(3, 13)$

(2) 最大値:

$0 < a \le 3$ のとき、4

$a > 3$ のとき、13