2次関数 $y = ax^2 + 2ax + a^2$ が最大値6をとるとき、定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = ax^2 + 2ax + a^2$ が最大値6をとるとき、定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

2次関数が最大値を持つためには、$a < 0$ である必要がある。

与えられた2次関数を平方完成する。

$y = ax^2 + 2ax + a^2$

$y = a(x^2 + 2x) + a^2$

$y = a(x^2 + 2x + 1 - 1) + a^2$

$y = a((x+1)^2 - 1) + a^2$

$y = a(x+1)^2 - a + a^2$

したがって、頂点の座標は $(-1, -a + a^2)$ となる。

最大値が6であるから、 $-a + a^2 = 6$ が成り立つ。

$a^2 - a - 6 = 0$

$(a-3)(a+2) = 0$

$a = 3$ または $a = -2$

ただし、$a < 0$ である必要があるから、$a = 3$ は不適。したがって、$a = -2$。

3. 最終的な答え

$a = -2$