不等式 $\frac{2}{x-1} \geq x$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $\frac{2}{x-1} \geq x$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、不等式を整理します。$x-1$ を掛けてはいけません。なぜなら、$x-1$ の符号が正か負かによって不等号の向きが変わるからです。そこで、まず $x$ を左辺に移項します。

$$\frac{2}{x-1} - x \geq 0$$

次に、左辺を通分します。

$$\frac{2 - x(x-1)}{x-1} \geq 0$$

$$\frac{2 - x^2 + x}{x-1} \geq 0$$

$$\frac{-x^2 + x + 2}{x-1} \geq 0$$

分子に $-1$ を掛けて、

$$\frac{x^2 - x - 2}{x-1} \leq 0$$

分子を因数分解します。

$$\frac{(x-2)(x+1)}{x-1} \leq 0$$

この不等式を解くために、数直線を使い、$x=-1$, $x=1$, $x=2$ を境に区間を分けます。

* $x < -1$ のとき、$(x-2) < 0$, $(x+1) < 0$, $(x-1) < 0$ なので、$\frac{(x-2)(x+1)}{x-1} < 0$ となり、不等式を満たします。

* $-1 < x < 1$ のとき、$(x-2) < 0$, $(x+1) > 0$, $(x-1) < 0$ なので、$\frac{(x-2)(x+1)}{x-1} > 0$ となり、不等式を満たしません。

* $1 < x < 2$ のとき、$(x-2) < 0$, $(x+1) > 0$, $(x-1) > 0$ なので、$\frac{(x-2)(x+1)}{x-1} < 0$ となり、不等式を満たします。

* $x > 2$ のとき、$(x-2) > 0$, $(x+1) > 0$, $(x-1) > 0$ なので、$\frac{(x-2)(x+1)}{x-1} > 0$ となり、不等式を満たしません。

また、分子が 0 になるとき、つまり $x = -1$ および $x = 2$ のとき、不等式を満たします。ただし、分母が 0 になるとき、つまり $x = 1$ のときは定義されないので含みません。

したがって、解は $x \leq -1$ または $1 < x \leq 2$ となります。

3. 最終的な答え

$x \leq -1$, $1 < x \leq 2$