ある八百屋でリンゴを1個100円で販売すると1日あたり200個売れる。 リンゴの価格を1回につき10円値上げすると、1日の販売数が10個ずつ減る。 (1) 売上高を $y$ とし、値上げの回数を $x$ とするとき、$y$ を $x$ の関数として表す。 (2) 売上高を最大にするためには、リンゴ1個の値段をいくらにすれば良いか。そのときの販売個数と売上高も求める。

1. 問題の内容

ある八百屋でリンゴを1個100円で販売すると1日あたり200個売れる。

リンゴの価格を1回につき10円値上げすると、1日の販売数が10個ずつ減る。

(1) 売上高を $y$ とし、値上げの回数を $x$ とするとき、$y$ を $x$ の関数として表す。

(2) 売上高を最大にするためには、リンゴ1個の値段をいくらにすれば良いか。そのときの販売個数と売上高も求める。

2. 解き方の手順

(1)

リンゴ1個の値段は $100 + 10x$ 円となる。

1日の販売個数は $200 - 10x$ 個となる。

したがって、売上高 $y$ は、

$y = (100 + 10x)(200 - 10x)$

$y = 20000 - 1000x + 2000x - 100x^2$

$y = -100x^2 + 1000x + 20000$

(2)

売上高 $y$ を最大にする $x$ を求める。

$y = -100x^2 + 1000x + 20000$ を平方完成する。

$y = -100(x^2 - 10x) + 20000$

$y = -100(x^2 - 10x + 25 - 25) + 20000$

$y = -100((x - 5)^2 - 25) + 20000$

$y = -100(x - 5)^2 + 2500 + 20000$

$y = -100(x - 5)^2 + 22500$

したがって、$x = 5$ のとき、売上高 $y$ は最大値22500円となる。

リンゴ1個の値段は、$100 + 10 \times 5 = 100 + 50 = 150$ 円となる。

販売個数は、$200 - 10 \times 5 = 200 - 50 = 150$ 個となる。

3. 最終的な答え

(1) $y = -100x^2 + 1000x + 20000$

(2) リンゴ1個の値段は150円、販売個数は150個、売上高は22500円