フィボナッチ数列 $\{F_n\}$ の一般項を求める問題です。ただし、$F_1 = 1$, $F_2 = 2$, および漸化式 $F_{k+2} = F_{k+1} + F_k$ が与えられています。また、(2),(4)の結果を用いて解く必要があります。（画像の後半部分に(2)の答え $\{A_n\} = (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n$、(3)の答え $\{B_n\} = (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n$ と書かれています。)

1. 問題の内容

フィボナッチ数列 $\{F_n\}$ の一般項を求める問題です。ただし、$F_1 = 1$, $F_2 = 2$, および漸化式 $F_{k+2} = F_{k+1} + F_k$ が与えられています。また、(2),(4)の結果を用いて解く必要があります。（画像の後半部分に(2)の答え $\{A_n\} = (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n$、(3)の答え $\{B_n\} = (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n$ と書かれています。)

2. 解き方の手順

フィボナッチ数列の一般項は、特性方程式を用いることで求めることができます。

特性方程式は

$x^2 = x + 1$

です。これを解くと

$x^2 - x - 1 = 0$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

したがって、2つの解は $\alpha = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ と $\beta = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ となります。

一般項は $F_n = A \alpha^n + B \beta^n$ と表されます。ここで、AとBは定数です。

$F_1 = 1$ と $F_2 = 2$ の条件を用いると、

$F_1 = A \alpha + B \beta = A (\frac{1+\sqrt{5}}{2}) + B (\frac{1-\sqrt{5}}{2}) = 1$

$F_2 = A \alpha^2 + B \beta^2 = A (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2 + B (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^2 = 2$

$A (\frac{1+\sqrt{5}}{2}) + B (\frac{1-\sqrt{5}}{2}) = 1$ より

$A (1+\sqrt{5}) + B (1-\sqrt{5}) = 2$

$(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2 = \frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

$(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^2 = \frac{1 - 2\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

$F_2 = A (\frac{3+\sqrt{5}}{2}) + B (\frac{3-\sqrt{5}}{2}) = 2$ より

$A (3+\sqrt{5}) + B (3-\sqrt{5}) = 4$

連立方程式は

$A(1+\sqrt{5}) + B(1-\sqrt{5}) = 2$

$A(3+\sqrt{5}) + B(3-\sqrt{5}) = 4$

上の式を3倍して下の式から引くと

$A(3+3\sqrt{5}) + B(3-3\sqrt{5}) - [A(3+\sqrt{5}) + B(3-\sqrt{5})] = 6-4$

$A(2\sqrt{5}) + B(-2\sqrt{5}) = 2$

$A-B = \frac{1}{\sqrt{5}}$

上の式に(1+√5)をかける

$A+A\sqrt{5}+B-B\sqrt{5}=2$

$A(1+\sqrt{5}) + B(1-\sqrt{5}) = 2$

下の式から引くと

$A-B=\frac{1}{\sqrt{5}}$

$A(1+\sqrt{5}) + B(1-\sqrt{5}) = 2$

$A(1+\sqrt{5}) + B(1-\sqrt{5}) = 2$

上の式から(1-√5)をかける

$A-B = \frac{1}{\sqrt{5}}$

$A=B+\frac{1}{\sqrt{5}}$

$A(1+\sqrt{5}) + B(1-\sqrt{5}) = 2$に代入

$(B+\frac{1}{\sqrt{5}})(1+\sqrt{5}) + B(1-\sqrt{5}) = 2$

$B+B\sqrt{5}+\frac{1}{\sqrt{5}}+1+B-B\sqrt{5} = 2$

$2B+\frac{1}{\sqrt{5}}+1=2$

$2B=1-\frac{1}{\sqrt{5}}$

$B=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{5}}$

$A=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{5}}$

したがって、$F_n = (\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{5}}) (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n + (\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{5}}) (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n$

3. 最終的な答え

$F_n = (\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{5}}) (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n + (\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{5}}) (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n$