$2^x + 2^{-x} = 7$ のとき、$4^x + 4^{-x}$ と $8^x + 8^{-x}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$2^x + 2^{-x} = 7$ のとき、$4^x + 4^{-x}$ と $8^x + 8^{-x}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$4^x + 4^{-x}$ の値を求める。$4^x = (2^x)^2$ であることを利用する。

$(2^x + 2^{-x})^2 = (2^x)^2 + 2(2^x)(2^{-x}) + (2^{-x})^2 = 4^x + 2 + 4^{-x}$

$2^x + 2^{-x} = 7$ より、

$(2^x + 2^{-x})^2 = 7^2 = 49$

よって、$4^x + 2 + 4^{-x} = 49$

$4^x + 4^{-x} = 49 - 2 = 47$

次に、$8^x + 8^{-x}$ の値を求める。$8^x = (2^x)^3$ であることを利用する。

$(2^x + 2^{-x})^3 = (2^x)^3 + 3(2^x)^2(2^{-x}) + 3(2^x)(2^{-x})^2 + (2^{-x})^3$

$= 8^x + 3(2^x) + 3(2^{-x}) + 8^{-x} = 8^x + 8^{-x} + 3(2^x + 2^{-x})$

$2^x + 2^{-x} = 7$ より、

$(2^x + 2^{-x})^3 = 7^3 = 343$

よって、$8^x + 8^{-x} + 3(7) = 343$

$8^x + 8^{-x} + 21 = 343$

$8^x + 8^{-x} = 343 - 21 = 322$

3. 最終的な答え

$4^x + 4^{-x} = 47$

$8^x + 8^{-x} = 322$