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(3) 指数や根号で表された複数の値の大小関係を不等号（<, >）を用いて比較する問題です。 (4) 与えられた値の中で最も大きいものを求める問題です。

代数学指数根号大小比較不等式
2025/6/26
はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(3) 指数や根号で表された複数の値の大小関係を不等号（<, >）を用いて比較する問題です。
(4) 与えられた値の中で最も大きいものを求める問題です。

2. 解き方の手順

**(3) 大小関係**

1. $3^2$ と $3^{\frac{3}{2}}$:

32=93^2 = 9
332=31.5=33≈3×1.732=5.1963^{\frac{3}{2}} = 3^{1.5} = 3 \sqrt{3} \approx 3 \times 1.732 = 5.196
よって、32>3323^2 > 3^{\frac{3}{2}}

2. $2^{\frac{6}{5}}$ と $2\sqrt{2}$:

265=21.22^{\frac{6}{5}} = 2^{1.2}
22=21⋅212=232=21.52\sqrt{2} = 2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}} = 2^{1.5}
21.2<21.52^{1.2} < 2^{1.5}なので、265<222^{\frac{6}{5}} < 2\sqrt{2}

3. $27$ と $3^{\frac{16}{5}}$:

27=3327 = 3^3
3165=33.23^{\frac{16}{5}} = 3^{3.2}
33<33.23^3 < 3^{3.2}なので、27<316527 < 3^{\frac{16}{5}}

4. $\sqrt{2}$ と $\sqrt[4]{8}$:

2=212=20.5\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} = 2^{0.5}
84=814=(23)14=234=20.75\sqrt[4]{8} = 8^{\frac{1}{4}} = (2^3)^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{3}{4}} = 2^{0.75}
20.5<20.752^{0.5} < 2^{0.75}なので、2<84\sqrt{2} < \sqrt[4]{8}

5. $(\frac{1}{3})^{\frac{1}{2}}$ と $(\frac{1}{3})^{\frac{1}{3}}$:

底が1より小さいので、指数が大きいほど値は小さくなる。
12>13\frac{1}{2} > \frac{1}{3}なので、(13)12<(13)13 (\frac{1}{3})^{\frac{1}{2}} < (\frac{1}{3})^{\frac{1}{3}}

6. $(\frac{1}{3})^{\frac{3}{2}}$ と $(\frac{1}{3})^{\sqrt{2}}$:

底が1より小さいので、指数が大きいほど値は小さくなる。
32=1.5\frac{3}{2} = 1.5
2≈1.414\sqrt{2} \approx 1.414
32>2\frac{3}{2} > \sqrt{2}なので、(13)32<(13)2 (\frac{1}{3})^{\frac{3}{2}} < (\frac{1}{3})^{\sqrt{2}}

7. $3$ と $(\frac{1}{3})^{-2}$:

(13)−2=(3−1)−2=32=9(\frac{1}{3})^{-2} = (3^{-1})^{-2} = 3^2 = 9
3<93 < 9なので、3<(13)−23 < (\frac{1}{3})^{-2}

8. $\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$ と $\sqrt[4]{\frac{1}{8}}$:

143=(2−2)13=2−23\sqrt[3]{\frac{1}{4}} = (2^{-2})^{\frac{1}{3}} = 2^{-\frac{2}{3}}
184=(2−3)14=2−34\sqrt[4]{\frac{1}{8}} = (2^{-3})^{\frac{1}{4}} = 2^{-\frac{3}{4}}
−23=−0.666...-\frac{2}{3} = -0.666...
−34=−0.75-\frac{3}{4} = -0.75
2−23>2−342^{-\frac{2}{3}} > 2^{-\frac{3}{4}}なので、143>184\sqrt[3]{\frac{1}{4}} > \sqrt[4]{\frac{1}{8}}
**(4) 最大値**

1. $4, 2^0, \sqrt{2}, \sqrt{32}$:

4=44 = 4
20=12^0 = 1
2≈1.414\sqrt{2} \approx 1.414
32=16×2=42≈4×1.414=5.656\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2} \approx 4 \times 1.414 = 5.656
最大値は32\sqrt{32}

2. $(\frac{1}{3})^{-\frac{6}{5}}, 1, \frac{1}{\sqrt{3}}, 3\sqrt{3}$:

(13)−65=365=31.2≈3.737(\frac{1}{3})^{-\frac{6}{5}} = 3^{\frac{6}{5}} = 3^{1.2} \approx 3.737
1=11 = 1
13≈11.732≈0.577\frac{1}{\sqrt{3}} \approx \frac{1}{1.732} \approx 0.577
33≈3×1.732=5.1963\sqrt{3} \approx 3 \times 1.732 = 5.196
最大値は333\sqrt{3}

3. 最終的な答え

(3)

1. $3^2 > 3^{\frac{3}{2}}$

2. $2^{\frac{6}{5}} < 2\sqrt{2}$

3. $27 < 3^{\frac{16}{5}}$

4. $\sqrt{2} < \sqrt[4]{8}$

5. $(\frac{1}{3})^{\frac{1}{2}} < (\frac{1}{3})^{\frac{1}{3}}$

6. $(\frac{1}{3})^{\frac{3}{2}} < (\frac{1}{3})^{\sqrt{2}}$

7. $3 < (\frac{1}{3})^{-2}$

8. $\sqrt[3]{\frac{1}{4}} > \sqrt[4]{\frac{1}{8}}$

(4)

1. $\sqrt{32}$

2. $3\sqrt{3}$

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