$a > 0$とする。2つの直線 $ax + (1-a)y = 1$ と $(2+a)x - y = 2$ について、これらの2直線が平行であるときの $a$ の値と、直交しているときの $a$ の値をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

$a > 0$とする。2つの直線 $ax + (1-a)y = 1$ と $(2+a)x - y = 2$ について、これらの2直線が平行であるときの $a$ の値と、直交しているときの $a$ の値をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの直線の方程式を $y = mx + n$ の形に変形する。

1つ目の直線: $ax + (1-a)y = 1$ より、

$(1-a)y = -ax + 1$

$y = \frac{-a}{1-a}x + \frac{1}{1-a}$

ただし、$a \neq 1$

2つ目の直線: $(2+a)x - y = 2$ より、

$y = (2+a)x - 2$

(1) 2直線が平行である条件は、傾きが等しいことである。したがって、

$\frac{-a}{1-a} = 2+a$

$-a = (2+a)(1-a)$

$-a = 2 - 2a + a - a^2$

$-a = 2 - a - a^2$

$a^2 = 2$

$a = \pm \sqrt{2}$

$a>0$ より $a = \sqrt{2}$.

$a=1$の場合、$ax+(1-a)y=1$は$x=1$となり、$y=(2+a)x-2$と平行にはなり得ない。

よって、$a=\sqrt{2}$は条件を満たす。

(2) 2直線が直交する条件は、傾きの積が $-1$ であることである。したがって、

$\frac{-a}{1-a} \times (2+a) = -1$

$\frac{-a(2+a)}{1-a} = -1$

$-a(2+a) = -(1-a)$

$-2a - a^2 = -1 + a$

$a^2 + 3a - 1 = 0$

$a = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$

$a = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2}$

$a = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$

$a>0$ より $a = \frac{-3 + \sqrt{13}}{2}$

3. 最終的な答え

平行であるときの $a$ の値: $a = \sqrt{2}$

直交しているときの $a$ の値: $a = \frac{-3 + \sqrt{13}}{2}$