不等式 $(k-1)x^2 + 2(k+1)x + 2k-1 < 0$ の解がすべての実数であるとき、定数 $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

不等式 $(k-1)x^2 + 2(k+1)x + 2k-1 < 0$ の解がすべての実数であるとき、定数 $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

2次不等式 $(k-1)x^2 + 2(k+1)x + 2k-1 < 0$ の解がすべての実数であるための条件を考える。

まず、$x^2$ の係数である $k-1$ が正である場合（$k > 1$）、グラフは下に凸の放物線になるので、必ず $f(x) > 0$ となる $x$ が存在し、解がすべての実数にはならない。

したがって、$k-1 < 0$ すなわち $k < 1$ でなければならない。このとき、グラフは上に凸の放物線となる。

不等式の解がすべての実数となるには、グラフが常に $x$ 軸より下にある必要がある。

つまり、$k-1 < 0$ かつ、2次方程式 $(k-1)x^2 + 2(k+1)x + 2k-1 = 0$ の判別式 $D$ が $D < 0$ である必要がある。

まず、$k-1 < 0$ より、$k < 1$。

次に、判別式 $D$ を計算する。

$D/4 = (k+1)^2 - (k-1)(2k-1) = k^2 + 2k + 1 - (2k^2 - 3k + 1) = -k^2 + 5k$

$D/4 < 0$ より、$-k^2 + 5k < 0$。

$k^2 - 5k > 0$

$k(k-5) > 0$

したがって、$k < 0$ または $k > 5$。

$k < 1$ と $k < 0$ または $k > 5$ の共通範囲を求めると、$k < 0$。

ただし、$k=1$のとき、不等式は $4x+1<0$ となり、解がすべての実数とはならない。

よって、$k < 0$ が答えとなる。

3. 最終的な答え

$k < 0$