関数 $y = 2x^2 - 4ax + 2a^2$ の $0 \le x \le 1$ における最小値を求めます。ここで、$a$ は定数です。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2 - 4ax + 2a^2$ の $0 \le x \le 1$ における最小値を求めます。ここで、$a$ は定数です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

\begin{align*}

y &= 2x^2 - 4ax + 2a^2 \\

&= 2(x^2 - 2ax) + 2a^2 \\

&= 2(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) + 2a^2 \\

&= 2((x-a)^2 - a^2) + 2a^2 \\

&= 2(x-a)^2 - 2a^2 + 2a^2 \\

&= 2(x-a)^2

\end{align*}

したがって、$y = 2(x-a)^2$ となります。

この関数のグラフは、軸が $x = a$ の下に凸な放物線です。

定義域 $0 \le x \le 1$ における最小値を求めるために、軸 $x = a$ の位置によって場合分けを行います。

(i) $a < 0$ のとき：

定義域内で関数は単調増加なので、$x = 0$ で最小値をとります。

$y(0) = 2(0-a)^2 = 2a^2$

(ii) $0 \le a \le 1$ のとき：

軸が定義域に含まれるので、$x = a$ で最小値をとります。

$y(a) = 2(a-a)^2 = 0$

(iii) $1 < a$ のとき：

定義域内で関数は単調減少なので、$x = 1$ で最小値をとります。

$y(1) = 2(1-a)^2 = 2(1 - 2a + a^2) = 2a^2 - 4a + 2$

3. 最終的な答え

(i) $a < 0$ のとき、最小値は $2a^2$

(ii) $0 \le a \le 1$ のとき、最小値は $0$

(iii) $1 < a$ のとき、最小値は $2a^2 - 4a + 2$