数列$\{a_n\}$が$a_1 = 3$と漸化式$a_{n+1} = 3a_n + 2^n$で定義される。 (1) $b_n = \frac{a_n}{2^n}$とおくとき、$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求めよ。 (2) 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$が$a_1 = 3$と漸化式$a_{n+1} = 3a_n + 2^n$で定義される。

(1) $b_n = \frac{a_n}{2^n}$とおくとき、$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求めよ。

(2) 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $b_n = \frac{a_n}{2^n}$より、$a_n = 2^n b_n$である。

漸化式$a_{n+1} = 3a_n + 2^n$に代入すると、

$2^{n+1} b_{n+1} = 3 \cdot 2^n b_n + 2^n$

両辺を$2^{n+1}$で割ると、

$b_{n+1} = \frac{3}{2} b_n + \frac{1}{2}$

(2) (1)で求めた漸化式$b_{n+1} = \frac{3}{2} b_n + \frac{1}{2}$を変形する。

$b_{n+1} + 1 = \frac{3}{2}(b_n + 1)$

数列$\{b_n + 1\}$は、初項$b_1 + 1$、公比$\frac{3}{2}$の等比数列である。

$b_1 = \frac{a_1}{2^1} = \frac{3}{2}$より、

$b_1 + 1 = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}$

よって、

$b_n + 1 = \frac{5}{2} \left( \frac{3}{2} \right)^{n-1}$

$b_n = \frac{5}{2} \left( \frac{3}{2} \right)^{n-1} - 1$

$b_n = 5 \cdot \frac{3^{n-1}}{2^n} - 1$

$a_n = 2^n b_n$より、

$a_n = 2^n \left( 5 \cdot \frac{3^{n-1}}{2^n} - 1 \right)$

$a_n = 5 \cdot 3^{n-1} - 2^n$

3. 最終的な答え

(1) $b_{n+1} = \frac{3}{2}b_n + \frac{1}{2}$

(2) $a_n = 5 \cdot 3^{n-1} - 2^n$