不等式 $\sqrt{4x+5} > \frac{1}{2}(x+5)$ を解く。

1. 問題の内容

不等式 $\sqrt{4x+5} > \frac{1}{2}(x+5)$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、根号の中身が0以上である必要があるため、

$4x+5 \ge 0$

$4x \ge -5$

$x \ge -\frac{5}{4}$

次に、両辺を2倍して

$2\sqrt{4x+5} > x+5$

ここで、$x+5 < 0$ の場合、すなわち $x<-5$ の場合は、左辺は常に正であるのに対し、右辺は負となるため、不等式は常に成立する。しかし、$x \ge -\frac{5}{4}$ という条件があるため、$x < -5$ となることはない。

次に、$x+5 \ge 0$ の場合、すなわち $x \ge -5$ の場合を考える。このとき、$x \ge -\frac{5}{4}$ より、$x+5 \ge 0$ は常に成り立つ。

両辺を2乗すると、

$(2\sqrt{4x+5})^2 > (x+5)^2$

$4(4x+5) > x^2 + 10x + 25$

$16x+20 > x^2+10x+25$

$0 > x^2 - 6x + 5$

$x^2 - 6x + 5 < 0$

$(x-1)(x-5) < 0$

$1 < x < 5$

$x \ge -\frac{5}{4}$という条件と$1 < x < 5$ という条件を合わせると、$1 < x < 5$ となる。

3. 最終的な答え

$1 < x < 5$