与えられた置換 $p$ を互換の積で表し、その符号 $\text{sgn}(p)$ を求めます。問題は (1) と (2) の2つの置換に対して解く必要があります。

1. 問題の内容

与えられた置換 $p$ を互換の積で表し、その符号 $\text{sgn}(p)$ を求めます。問題は (1) と (2) の2つの置換に対して解く必要があります。

2. 解き方の手順

(1) $p = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ の場合：

* 1は3に、3は2に、2は4に、4は1に写るので、巡回置換 $(1\ 3\ 2\ 4)$ となります。

* 巡回置換は互換の積で表すことができます。$(1\ 3\ 2\ 4) = (1\ 4)(1\ 2)(1\ 3)$

* したがって、$p = (1\ 4)(1\ 2)(1\ 3)$ と表せます。

* 互換の個数は3個なので、$\text{sgn}(p) = (-1)^3 = -1$

(2) $p = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 4 & 5 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ の場合：

* 1は2に、2は4に、4は1に写るので、巡回置換 $(1\ 2\ 4)$ があります。

* 3は5に、5は3に写るので、巡回置換 $(3\ 5)$ があります。

* したがって、$p = (1\ 2\ 4)(3\ 5)$ となります。

* 巡回置換を互換の積で表すと、$(1\ 2\ 4) = (1\ 4)(1\ 2)$ そして $(3\ 5)$ は互換です。

* したがって、$p = (1\ 4)(1\ 2)(3\ 5)$ と表せます。

* 互換の個数は3個なので、$\text{sgn}(p) = (-1)^3 = -1$

3. 最終的な答え

(1) $p = (1\ 4)(1\ 2)(1\ 3)$, $\text{sgn}(p) = -1$

(2) $p = (1\ 4)(1\ 2)(3\ 5)$, $\text{sgn}(p) = -1$