$a = \frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}+1}$ とする。 (1) $a$ の分母を有理化し、簡単にせよ。 (2) $a$ の小数部分を $b$ とするとき、$b$ の値を求めよ。また、$a^2 + b^2$ の値を求めよ。 (3) $b$ を (2) で求めた値とするとき、$a^4 - b^4 + 2ab^2 - a^2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a = \frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}+1}$ とする。

(1) $a$ の分母を有理化し、簡単にせよ。

(2) $a$ の小数部分を $b$ とするとき、$b$ の値を求めよ。また、$a^2 + b^2$ の値を求めよ。

(3) $b$ を (2) で求めた値とするとき、$a^4 - b^4 + 2ab^2 - a^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の分母を有理化する。

$a = \frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{3 - \sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 2}{3-1} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

(2) $a = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ の小数部分を $b$ とする。

$\sqrt{3}$ の近似値は $1.732$ であるから、$a = \frac{1 + 1.732}{2} = \frac{2.732}{2} = 1.366$ となる。

$a$ の整数部分は $1$ なので、小数部分 $b$ は $a - 1 = \frac{1+\sqrt{3}}{2} - 1 = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

$a^2 + b^2$ を求める。

$a^2 = (\frac{1+\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{4} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{4} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}$

$b^2 = (\frac{\sqrt{3}-1}{2})^2 = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{4} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{4} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2}$

$a^2 + b^2 = \frac{2+\sqrt{3}}{2} + \frac{2-\sqrt{3}}{2} = \frac{4}{2} = 2$

(3) $a^4 - b^4 + 2ab^2 - a^2$ の値を求める。

$a^4 - b^4 + 2ab^2 - a^2 = (a^4 - a^2) - (b^4 - 2ab^2) = a^2(a^2 - 1) - b^2(b^2 - 2a)$

$a^2 = \frac{2+\sqrt{3}}{2}$

$b^2 = \frac{2-\sqrt{3}}{2}$

$a^2 - 1 = \frac{2+\sqrt{3}}{2} - 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$a^2(a^2 - 1) = \frac{2+\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3} + 3}{4}$

$b^2 - 2a = \frac{2-\sqrt{3}}{2} - 2 \cdot \frac{1+\sqrt{3}}{2} = \frac{2-\sqrt{3} - 2 - 2\sqrt{3}}{2} = \frac{-3\sqrt{3}}{2}$

$b^2(b^2 - 2a) = \frac{2-\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{-3\sqrt{3}}{2} = \frac{-6\sqrt{3} + 9}{4} = \frac{9 - 6\sqrt{3}}{4}$

$a^4 - b^4 + 2ab^2 - a^2 = \frac{2\sqrt{3}+3}{4} - \frac{9-6\sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}+3 - 9 + 6\sqrt{3}}{4} = \frac{8\sqrt{3}-6}{4} = 2\sqrt{3} - \frac{3}{2}$

整理する。

$a^4 - b^4 + 2ab^2 - a^2 = (a^2-b^2)(a^2+b^2)-a(a-2b)$

$a^2-b^2 = (a-b)(a+b) = (\frac{1+\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}-1}{2})(\frac{1+\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}-1}{2}) = (\frac{2}{2})(\frac{2\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{3}$

$(a^2-b^2)(a^2+b^2) = \sqrt{3}(2) = 2\sqrt{3}$

$a(a-2b) = (\frac{1+\sqrt{3}}{2})(\frac{1+\sqrt{3}}{2} - 2\frac{\sqrt{3}-1}{2}) = (\frac{1+\sqrt{3}}{2})(\frac{1+\sqrt{3}-2\sqrt{3}+2}{2}) = (\frac{1+\sqrt{3}}{2})(\frac{3-\sqrt{3}}{2}) = \frac{3 - \sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 3}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$2\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

$a^4 - a^2 - b^4 + 2ab^2 = a^2(a^2 - 1) - b^2(b^2 - 2a)$

$a^2 - 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$b^2 - 2a = \frac{2-\sqrt{3}}{2} - \frac{2(1+\sqrt{3})}{2} = \frac{2-\sqrt{3}-2-2\sqrt{3}}{2} = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$

$a^2(a^2 - 1) = \frac{2+\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3} + 3}{4}$

$-b^2(b^2 - 2a) = -\frac{2-\sqrt{3}}{2}(-\frac{3\sqrt{3}}{2}) = \frac{-6\sqrt{3} + 9}{4} = \frac{9-6\sqrt{3}}{4}$

$\frac{2\sqrt{3}+3}{4} - \frac{9-6\sqrt{3}}{4} = \frac{8\sqrt{3}-6}{4} = 2\sqrt{3} - \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

(2) $b = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$, $a^2 + b^2 = 2$

(3) $2\sqrt{3} - \frac{3}{2}$