すべての実数 $x$ について、不等式 $(a-1)x^2 - 2(a-1)x + 3 \geq 0$ が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

すべての実数 $x$ について、不等式 $(a-1)x^2 - 2(a-1)x + 3 \geq 0$ が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$a-1 = 0$ の場合、つまり $a = 1$ の場合を考えます。

このとき、不等式は $0x^2 - 0x + 3 \geq 0$ となり、$3 \geq 0$ となるため、これは常に成り立ちます。したがって、$a = 1$ は条件を満たします。

次に、$a-1 > 0$ の場合、つまり $a > 1$ の場合を考えます。

このとき、与えられた不等式は下に凸な二次関数であり、すべての実数 $x$ に対して $f(x) \geq 0$ となるためには、判別式 $D$ が $D \leq 0$ である必要があります。

$f(x) = (a-1)x^2 - 2(a-1)x + 3$ とすると、

$D = (-2(a-1))^2 - 4(a-1)(3) = 4(a-1)^2 - 12(a-1) = 4(a-1)(a-1-3) = 4(a-1)(a-4)$

$D \leq 0$ より、

$4(a-1)(a-4) \leq 0$

$(a-1)(a-4) \leq 0$

$1 \leq a \leq 4$

$a > 1$ という条件と合わせて、$1 < a \leq 4$となります。

最後に、$a - 1 < 0$ の場合、つまり $a < 1$ の場合を考えます。

このとき、与えられた不等式は上に凸な二次関数であり、すべての $x$ に対して $f(x) \geq 0$ となることはありません。したがって、$a < 1$ は条件を満たしません。

以上より、$a=1$ または $1< a \leq 4$となるので、求める $a$ の範囲は $1 \leq a \leq 4$ となります。

3. 最終的な答え

$1 \leq a \leq 4$