確率変数 $X$ が二項分布 $B(10, \frac{1}{5})$ に従うとき、$X=8$ となる確率 $P(X=8)$ と、$X$ の期待値 $E(X)$ を求めよ。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ が二項分布 $B(10, \frac{1}{5})$ に従うとき、$X=8$ となる確率 $P(X=8)$ と、$X$ の期待値 $E(X)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $P(X=8)$ を求める。

二項分布の確率質量関数は、

$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

で与えられる。ここで、$n=10$, $k=8$, $p=\frac{1}{5}$ であるから、

$P(X=8) = \binom{10}{8} \left(\frac{1}{5}\right)^8 \left(1-\frac{1}{5}\right)^{10-8}$

$= \binom{10}{8} \left(\frac{1}{5}\right)^8 \left(\frac{4}{5}\right)^2$

$= \frac{10!}{8!2!} \left(\frac{1}{5}\right)^8 \left(\frac{4}{5}\right)^2$

$= \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} \left(\frac{1}{5}\right)^8 \left(\frac{16}{25}\right)$

$= 45 \cdot \frac{16}{5^{10}}$

$= \frac{720}{5^{10}}$

$= \frac{720}{9765625} = \frac{144}{1953125}$

(2) $E(X)$ を求める。

二項分布 $B(n, p)$ の期待値は $E(X) = np$ で与えられる。

ここで、$n=10$, $p=\frac{1}{5}$ であるから、

$E(X) = 10 \cdot \frac{1}{5} = 2$

3. 最終的な答え

$P(X=8) = \frac{144}{1953125}$

$E(X) = 2$