確率変数 $X$ が二項分布 $B(12, p)$ に従い、$X$ の期待値 $E(X)$ が $4$ であるとき、$p$ の値と $X$ の標準偏差 $\sigma(X)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ が二項分布 $B(12, p)$ に従い、$X$ の期待値 $E(X)$ が $4$ であるとき、$p$ の値と $X$ の標準偏差 $\sigma(X)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項分布 $B(n, p)$ における期待値 $E(X)$ と標準偏差 $\sigma(X)$ はそれぞれ以下の式で表されます。

$E(X) = np$

$\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$

問題より、$X$ は二項分布 $B(12, p)$ に従い、$E(X) = 4$ であるから、

$E(X) = 12p = 4$

これを解くと、$p$ の値は、

$p = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

次に、標準偏差 $\sigma(X)$ を求めます。

$\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$

$n = 12$, $p = \frac{1}{3}$ を代入すると、

$\sigma(X) = \sqrt{12 \times \frac{1}{3} \times (1 - \frac{1}{3})}$

$\sigma(X) = \sqrt{12 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3}}$

$\sigma(X) = \sqrt{4 \times \frac{2}{3}}$

$\sigma(X) = \sqrt{\frac{8}{3}} = \sqrt{\frac{24}{9}} = \frac{\sqrt{24}}{3} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$

3. 最終的な答え

$p = \frac{1}{3}$

$\sigma(X) = \frac{2\sqrt{6}}{3}$