与えられた式 $\frac{5}{\sqrt{2}+1}$ を計算し、分母に根号を含まない形に変形（有理化）せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{5}{\sqrt{2}+1}$ を計算し、分母に根号を含まない形に変形（有理化）せよ。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役な式 $\sqrt{2}-1$ を分子と分母の両方に掛けます。

$\frac{5}{\sqrt{2}+1} = \frac{5(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}$

分母を展開します。

$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$

したがって、

$\frac{5(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{5(\sqrt{2}-1)}{1} = 5(\sqrt{2}-1)$

これを展開します。

$5(\sqrt{2}-1) = 5\sqrt{2}-5$

3. 最終的な答え

$5\sqrt{2}-5$