無限級数 $\frac{1}{2} - \frac{2}{3} + \frac{3}{4} - \frac{4}{5} + \dots$ の収束・発散を調べる問題です。

1. 問題の内容

無限級数 $\frac{1}{2} - \frac{2}{3} + \frac{3}{4} - \frac{4}{5} + \dots$ の収束・発散を調べる問題です。

2. 解き方の手順

この級数の第n項を $a_n$ とすると、

$$a_n = (-1)^{n+1} \frac{n}{n+1}$$

となります。

級数が収束するためには、$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ である必要があります。

ここで、

$$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (-1)^{n+1} \frac{n}{n+1}$$

$$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1+\frac{1}{n}} = 1$$

したがって、$\lim_{n \to \infty} a_n$ は0に収束せず、振動します。

$n$が偶数のとき、

$$\lim_{n \to \infty} (-1)^{n+1} \frac{n}{n+1} = -1$$

$n$が奇数のとき、

$$\lim_{n \to \infty} (-1)^{n+1} \frac{n}{n+1} = 1$$

したがって、$\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$ なので、この無限級数は発散します。

3. 最終的な答え

発散