曲線 $y = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ (ただし $0 \le x \le 1$) の長さを求めよ。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

曲線 $y = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ (ただし $0 \le x \le 1$) の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

曲線の長さ $L$ は、次の式で計算できます。

$L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} dx$

まず、$\frac{dy}{dx}$ を求めます。

$y = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$

次に、$1 + (\frac{dy}{dx})^2$ を計算します。

$1 + (\frac{dy}{dx})^2 = 1 + (\frac{e^x - e^{-x}}{2})^2 = 1 + \frac{e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4} = \frac{4 + e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4} = \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4} = (\frac{e^x + e^{-x}}{2})^2$

したがって、

$\sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} = \sqrt{(\frac{e^x + e^{-x}}{2})^2} = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$

最後に、積分の計算を行います。

$L = \int_{0}^{1} \frac{e^x + e^{-x}}{2} dx = [\frac{e^x - e^{-x}}{2}]_{0}^{1} = \frac{e^1 - e^{-1}}{2} - \frac{e^0 - e^{-0}}{2} = \frac{e - e^{-1}}{2} - 0 = \frac{e - \frac{1}{e}}{2} = \frac{e^2 - 1}{2e}$

3. 最終的な答え

$\frac{e^2 - 1}{2e}$