関数 $f(x)$ は閉区間 $I=[a, b]$ で連続、開区間 $(a, b)$ で微分可能である。以下の選択肢から正しいものをすべて選ぶ。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ は閉区間 $I=[a, b]$ で連続、開区間 $(a, b)$ で微分可能である。以下の選択肢から正しいものをすべて選ぶ。

2. 解き方の手順

* 選択肢1: $f'(x) > 0$ かつ $f(a) = 0$ ならば $f(b) > 0$ である。$f'(x) > 0$ ならば$f(x)$は増加関数なので、$f(a) = 0$ であれば$f(b) > 0$ となる。したがって正しい。

* 選択肢2: $I$ において $f'(x) > 0$ ならば $f(x)$ は $I$ で狭義単調増加である。これは正しい。

* 選択肢3: $f(x)$ が $I$ で狭義単調減少ならば $I$ 上で $f'(x) < 0$ が成り立つ。狭義単調減少ということは、常に減少するということであり、$f'(x) < 0$ が成り立つ。したがって正しい。

* 選択肢4: $f(x)$ が $I$ において単調増加であるための必要十分条件は、$I$ において $f'(x) \geq 0$ が成り立つことである。これは正しい。

* 選択肢5: $g(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 7$ は閉区間 $[1, 2]$ において単調増加である。

$g'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2) = 6(x - 2)(x + 1)$

$g'(x) = 0$ となるのは $x = 2, -1$。

$1 \leq x \leq 2$ において、$g'(x) \leq 0$ であるので単調減少である。したがって、この選択肢は誤り。

3. 最終的な答え

選択肢1, 2, 3, 4