定積分 $\int_{-\pi}^{\pi} (A\sin(\frac{t}{4}) + B\cos(\frac{t}{3})) dt$ の値を求める。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-\pi}^{\pi} (A\sin(\frac{t}{4}) + B\cos(\frac{t}{3})) dt$ の値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた定積分を計算するために、まず積分を2つの部分に分けます。

$\int_{-\pi}^{\pi} (A\sin(\frac{t}{4}) + B\cos(\frac{t}{3})) dt = \int_{-\pi}^{\pi} A\sin(\frac{t}{4}) dt + \int_{-\pi}^{\pi} B\cos(\frac{t}{3}) dt$

次に、それぞれの積分を計算します。

まず、$\int_{-\pi}^{\pi} A\sin(\frac{t}{4}) dt$ を計算します。$\sin(\frac{t}{4})$ は奇関数であるため、積分区間が対称であることから、この積分は0になります。

$\int_{-\pi}^{\pi} A\sin(\frac{t}{4}) dt = 0$

次に、$\int_{-\pi}^{\pi} B\cos(\frac{t}{3}) dt$ を計算します。$\cos(\frac{t}{3})$ は偶関数であるため、積分区間が対称であることから、

$\int_{-\pi}^{\pi} B\cos(\frac{t}{3}) dt = 2\int_{0}^{\pi} B\cos(\frac{t}{3}) dt = 2B \int_{0}^{\pi} \cos(\frac{t}{3}) dt$

$\int_{0}^{\pi} \cos(\frac{t}{3}) dt = [3\sin(\frac{t}{3})]_{0}^{\pi} = 3\sin(\frac{\pi}{3}) - 3\sin(0) = 3\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} - 0 = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

したがって、

$\int_{-\pi}^{\pi} B\cos(\frac{t}{3}) dt = 2B \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}B$

したがって、元の積分は

$\int_{-\pi}^{\pi} (A\sin(\frac{t}{4}) + B\cos(\frac{t}{3})) dt = 0 + 3\sqrt{3}B = 3\sqrt{3}B$

3. 最終的な答え

$3\sqrt{3}B$