与えられた定積分の計算を行います。 $\int_{-2}^{1} (3x^2 + 4) dx - \int_{-1}^{1} (2x^2 + 2) dx$

1. 問題の内容

与えられた定積分の計算を行います。

$\int_{-2}^{1} (3x^2 + 4) dx - \int_{-1}^{1} (2x^2 + 2) dx$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの定積分を計算します。

$\int_{-2}^{1} (3x^2 + 4) dx = [x^3 + 4x]_{-2}^{1}$

$= (1^3 + 4(1)) - ((-2)^3 + 4(-2))$

$= (1 + 4) - (-8 - 8)$

$= 5 - (-16)$

$= 5 + 16 = 21$

次に、もう一つの定積分を計算します。

$\int_{-1}^{1} (2x^2 + 2) dx = [\frac{2}{3}x^3 + 2x]_{-1}^{1}$

$= (\frac{2}{3}(1)^3 + 2(1)) - (\frac{2}{3}(-1)^3 + 2(-1))$

$= (\frac{2}{3} + 2) - (-\frac{2}{3} - 2)$

$= \frac{2}{3} + 2 + \frac{2}{3} + 2$

$= \frac{4}{3} + 4 = \frac{4}{3} + \frac{12}{3} = \frac{16}{3}$

したがって、

$\int_{-2}^{1} (3x^2 + 4) dx - \int_{-1}^{1} (2x^2 + 2) dx = 21 - \frac{16}{3}$

$= \frac{63}{3} - \frac{16}{3} = \frac{47}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{47}{3}$