媒介変数 $t$ で表された曲線について、$x$ と $y$ がそれぞれ $x = e^{-t} \cos(2\pi t)$ および $y = e^{-t} \sin(2\pi t)$ で与えられています。ただし、$0 \le t \le 1$ です。この問題は、この媒介変数表示された曲線に関して何らかの質問に答えることを意図していると思われますが、具体的な質問が記載されていません。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ で表された曲線について、$x$ と $y$ がそれぞれ $x = e^{-t} \cos(2\pi t)$ および $y = e^{-t} \sin(2\pi t)$ で与えられています。ただし、$0 \le t \le 1$ です。この問題は、この媒介変数表示された曲線に関して何らかの質問に答えることを意図していると思われますが、具体的な質問が記載されていません。

2. 解き方の手順

この問題は具体的な質問がないため、解き方の手順を示すのは困難です。ただし、この曲線に関するいくつかの可能性のある質問とその解き方を以下に示します。

* **曲線の概形:** $t$ の値をいくつか代入して $(x, y)$ の値を計算し、それらをプロットすることで、曲線の概形を把握できます。特に、$t = 0$ および $t = 1$ のときの座標を計算すると、$t$ が変化するにつれて曲線がどのように変化するかの手がかりが得られます。

* **曲線の長さ:** 曲線長 $L$ は、以下の積分で与えられます。

$L = \int_{0}^{1} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt$

$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を計算し、積分を実行することで、曲線長を求めることができます。

まず、$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を計算します。

$\frac{dx}{dt} = -e^{-t} \cos(2\pi t) - 2\pi e^{-t} \sin(2\pi t)$

$\frac{dy}{dt} = -e^{-t} \sin(2\pi t) + 2\pi e^{-t} \cos(2\pi t)$

次に、$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2$ を計算します。

$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = e^{-2t} \cos^2(2\pi t) + 4\pi e^{-2t} \cos(2\pi t) \sin(2\pi t) + 4\pi^2 e^{-2t} \sin^2(2\pi t) + e^{-2t} \sin^2(2\pi t) - 4\pi e^{-2t} \cos(2\pi t) \sin(2\pi t) + 4\pi^2 e^{-2t} \cos^2(2\pi t) = e^{-2t} + 4\pi^2 e^{-2t} = (1+4\pi^2)e^{-2t}$

したがって、曲線長は

$L = \int_{0}^{1} \sqrt{(1+4\pi^2)e^{-2t}} dt = \sqrt{1+4\pi^2} \int_{0}^{1} e^{-t} dt = \sqrt{1+4\pi^2} [-e^{-t}]_{0}^{1} = \sqrt{1+4\pi^2} (1 - e^{-1})$

3. 最終的な答え

もし問題が曲線長を求めるものであれば、最終的な答えは以下の通りです。

$L = \sqrt{1+4\pi^2} (1 - e^{-1})$