パラメータ表示された曲線 $x = 3(t - \sin t)$, $y = 3(1 - \cos t)$ の、$0 \le t \le \frac{\pi}{2}$ の範囲における弧長 $L$ を求める問題です。

1. 問題の内容

パラメータ表示された曲線 $x = 3(t - \sin t)$, $y = 3(1 - \cos t)$ の、$0 \le t \le \frac{\pi}{2}$ の範囲における弧長 $L$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

弧長 $L$ は次の式で計算できます。

$L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt$

まず、$x$ と $y$ を $t$ で微分します。

$\frac{dx}{dt} = 3(1 - \cos t)$

$\frac{dy}{dt} = 3\sin t$

これらの微分を弧長の式に代入します。

$L = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{(3(1 - \cos t))^2 + (3\sin t)^2} dt$

積分の中身を簡略化します。

$L = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{9(1 - 2\cos t + \cos^2 t) + 9\sin^2 t} dt$

$L = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{9(1 - 2\cos t + \cos^2 t + \sin^2 t)} dt$

$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ なので、

$L = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{9(2 - 2\cos t)} dt$

$L = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{18(1 - \cos t)} dt$

$L = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 3\sqrt{2(1 - \cos t)} dt$

半角の公式 $1 - \cos t = 2\sin^2 \frac{t}{2}$ を用います。

$L = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 3\sqrt{2 \cdot 2\sin^2 \frac{t}{2}} dt$

$L = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 3\sqrt{4\sin^2 \frac{t}{2}} dt$

$L = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 3 \cdot 2\left|\sin \frac{t}{2}\right| dt$

$0 \le t \le \frac{\pi}{2}$ なので、$0 \le \frac{t}{2} \le \frac{\pi}{4}$ となり、$\sin \frac{t}{2} \ge 0$ です。したがって、

$L = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 6\sin \frac{t}{2} dt$

積分を実行します。

$L = 6 \left[ -2\cos \frac{t}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$L = -12 \left( \cos \frac{\pi}{4} - \cos 0 \right)$

$L = -12 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \right)$

$L = -12 \left( \frac{\sqrt{2} - 2}{2} \right)$

$L = -6 (\sqrt{2} - 2)$

$L = 12 - 6\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$L = 12 - 6\sqrt{2}$