放物線 $y = x^2$ と直線 $y = 4x$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2$ と直線 $y = 4x$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、放物線と直線の交点を求めます。

$x^2 = 4x$ を解くと、

$x^2 - 4x = 0$

$x(x - 4) = 0$

したがって、$x = 0, 4$ となります。

交点の $x$ 座標は $0$ と $4$ です。

次に、積分を用いて面積を計算します。

$0 \leq x \leq 4$ において、$4x \geq x^2$ であるので、求める面積 $S$ は

$$S = \int_0^4 (4x - x^2) \, dx$$

$$S = \left[ 2x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right]_0^4$$

$$S = \left( 2(4^2) - \frac{1}{3}(4^3) \right) - \left( 2(0^2) - \frac{1}{3}(0^3) \right)$$

$$S = 2(16) - \frac{1}{3}(64)$$

$$S = 32 - \frac{64}{3}$$

$$S = \frac{96 - 64}{3}$$

$$S = \frac{32}{3}$$

3. 最終的な答え

$\frac{32}{3}$