問題は、不定積分 $\int xe^x dx$ を計算し、その結果を $C$ (積分定数) を用いて表すことです。

1. 問題の内容

問題は、不定積分 $\int xe^x dx$ を計算し、その結果を $C$ (積分定数) を用いて表すことです。

2. 解き方の手順

この積分は、部分積分を使って解くことができます。部分積分の公式は次の通りです。

$\int u dv = uv - \int v du$

今回の積分 $\int xe^x dx$ では、以下のように $u$ と $dv$ を設定します。

$u = x$

$dv = e^x dx$

すると、$du$ と $v$ は次のようになります。

$du = dx$

$v = \int e^x dx = e^x$

部分積分の公式にこれらを代入します。

$\int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx$

残りの積分 $\int e^x dx$ は簡単に計算できます。

$\int e^x dx = e^x$

したがって、元の積分は次のようになります。

$\int xe^x dx = xe^x - e^x + C$

3. 最終的な答え

$xe^x - e^x + C$