関数 $y = \sin{x}\cos{x} - \sin^2{x} + \frac{1}{2}$ の $0 \le x \le \pi$ における最大値、最小値、およびそのときの $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin{x}\cos{x} - \sin^2{x} + \frac{1}{2}$ の $0 \le x \le \pi$ における最大値、最小値、およびそのときの $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y$ の式を整理する。

$\sin{x}\cos{x} = \frac{1}{2}\sin{2x}$ および $\sin^2{x} = \frac{1 - \cos{2x}}{2}$ を用いると、

$y = \frac{1}{2}\sin{2x} - \frac{1 - \cos{2x}}{2} + \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{2}\sin{2x} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos{2x} + \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{2}\sin{2x} + \frac{1}{2}\cos{2x}$

$y = \frac{1}{2}(\sin{2x} + \cos{2x})$

次に、三角関数の合成を行う。

$\sin{2x} + \cos{2x} = \sqrt{2}\sin{(2x + \frac{\pi}{4})}$

よって、$y = \frac{\sqrt{2}}{2}\sin{(2x + \frac{\pi}{4})}$

$0 \le x \le \pi$ であるから、$\frac{\pi}{4} \le 2x + \frac{\pi}{4} \le 2\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{9\pi}{4}$

$\sin{(2x + \frac{\pi}{4})}$ の最大値は 1 (when $2x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$)、

最小値は -1 (when $2x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$)。

最大値をとるのは、$2x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ のとき。

$2x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$

$x = \frac{\pi}{8}$

最小値をとるのは、$2x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$ のとき。

$2x = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$

$x = \frac{5\pi}{8}$

最大値：$y = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{2}}{2}$

最小値：$y = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (-1) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

最大値：$\frac{\sqrt{2}}{2}$ ($x = \frac{\pi}{8}$ のとき)

最小値：$-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ($x = \frac{5\pi}{8}$ のとき)