与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} = xy + x + y + 1$ を初期条件 $y(0) = 1$ のもとで解きます。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} = xy + x + y + 1$ を初期条件 $y(0) = 1$ のもとで解きます。

2. 解き方の手順

まず、微分方程式を整理します。右辺を因数分解すると、

$\frac{dy}{dx} = x(y+1) + (y+1) = (x+1)(y+1)$

となります。これは変数分離形の微分方程式なので、両辺を $(y+1)$ で割り、$dx$ を掛けると、

$\frac{dy}{y+1} = (x+1)dx$

となります。次に、両辺を積分します。

$\int \frac{dy}{y+1} = \int (x+1)dx$

$\ln|y+1| = \frac{x^2}{2} + x + C$

ここで、$C$ は積分定数です。両辺の指数を取ると、

$|y+1| = e^{\frac{x^2}{2} + x + C} = e^C e^{\frac{x^2}{2} + x}$

$y+1 = \pm e^C e^{\frac{x^2}{2} + x} = Ae^{\frac{x^2}{2} + x}$

ここで、$A = \pm e^C$ は任意の定数です。したがって、

$y = Ae^{\frac{x^2}{2} + x} - 1$

初期条件 $y(0) = 1$ を用いて、$A$ を決定します。

$1 = Ae^{\frac{0^2}{2} + 0} - 1 = A - 1$

よって、$A = 2$ となります。したがって、解は

$y = 2e^{\frac{x^2}{2} + x} - 1$

3. 最終的な答え

$y = 2e^{\frac{x^2}{2} + x} - 1$