次の2つの関数のグラフを書き、それぞれの周期を求める問題です。 (1) $y = \sin x \cos x$ (2) $y = \cos^2 x$

1. 問題の内容

次の2つの関数のグラフを書き、それぞれの周期を求める問題です。

(1) $y = \sin x \cos x$

(2) $y = \cos^2 x$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin x \cos x$

まず、$y = \sin x \cos x$ を三角関数の公式を使って変形します。

2倍角の公式 $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ より、$\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$ となります。

したがって、$y = \frac{1}{2} \sin 2x$ です。

この関数のグラフは、$y = \sin x$ のグラフを $x$ 軸方向に $\frac{1}{2}$ 倍に縮小し、$y$ 軸方向に $\frac{1}{2}$ 倍に縮小したものです。

周期は、$2x$ の係数が $2$ であるため、$\frac{2\pi}{2} = \pi$ となります。

(2) $y = \cos^2 x$

次に、$y = \cos^2 x$ を変形します。

2倍角の公式 $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ より、$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ となります。

したがって、$y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2x$ です。

この関数のグラフは、$y = \cos x$ のグラフを $x$ 軸方向に $\frac{1}{2}$ 倍に縮小し、$y$ 軸方向に $\frac{1}{2}$ 倍に縮小し、さらに $y$ 軸方向に $\frac{1}{2}$ だけ平行移動したものです。

周期は、$2x$ の係数が $2$ であるため、$\frac{2\pi}{2} = \pi$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{1}{2} \sin 2x$、周期：$\pi$

(2) $y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2x$、周期：$\pi$