(1) 関数 $y = 2q - r$ について、$\frac{\partial y}{\partial q}$ と $\frac{\partial y}{\partial r}$ を求めなさい。 (2) 関数 $z = 3x^3y^2 - \frac{1}{2}xy$ について、$\frac{\partial z}{\partial x}$ と $\frac{\partial z}{\partial y}$ を求めなさい。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = 2q - r$ について、$\frac{\partial y}{\partial q}$ と $\frac{\partial y}{\partial r}$ を求めなさい。

(2) 関数 $z = 3x^3y^2 - \frac{1}{2}xy$ について、$\frac{\partial z}{\partial x}$ と $\frac{\partial z}{\partial y}$ を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1)

$\frac{\partial y}{\partial q}$ は、$y$ を $q$ で偏微分します。$r$ は定数として扱います。

$\frac{\partial y}{\partial r}$ は、$y$ を $r$ で偏微分します。$q$ は定数として扱います。

$y = 2q - r$

$\frac{\partial y}{\partial q} = 2$

$\frac{\partial y}{\partial r} = -1$

(2)

$\frac{\partial z}{\partial x}$ は、$z$ を $x$ で偏微分します。$y$ は定数として扱います。

$\frac{\partial z}{\partial y}$ は、$z$ を $y$ で偏微分します。$x$ は定数として扱います。

$z = 3x^3y^2 - \frac{1}{2}xy$

$\frac{\partial z}{\partial x} = 3 \cdot 3x^2 y^2 - \frac{1}{2}y = 9x^2y^2 - \frac{1}{2}y$

$\frac{\partial z}{\partial y} = 3x^3 \cdot 2y - \frac{1}{2}x = 6x^3y - \frac{1}{2}x$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\partial y}{\partial q} = 2$

$\frac{\partial y}{\partial r} = -1$

(2) $\frac{\partial z}{\partial x} = 9x^2y^2 - \frac{1}{2}y$

$\frac{\partial z}{\partial y} = 6x^3y - \frac{1}{2}x$