与えられた4つの不定積分を計算する問題です。 (1) $\int \frac{1}{2x+1} dx$ (2) $\int (2x+3)^3 dx$ (3) $\int \frac{1}{(4x-3)^3} dx$ (4) $\int \sqrt{2x+3} dx$

1. 問題の内容

与えられた4つの不定積分を計算する問題です。

(1) $\int \frac{1}{2x+1} dx$

(2) $\int (2x+3)^3 dx$

(3) $\int \frac{1}{(4x-3)^3} dx$

(4) $\int \sqrt{2x+3} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{1}{2x+1} dx$

$u = 2x+1$ と置換すると、$du = 2dx$ より、$dx = \frac{1}{2}du$。

したがって、

$\int \frac{1}{2x+1} dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln|u| + C = \frac{1}{2} \ln|2x+1| + C$

(2) $\int (2x+3)^3 dx$

$u = 2x+3$ と置換すると、$du = 2dx$ より、$dx = \frac{1}{2}du$。

したがって、

$\int (2x+3)^3 dx = \int u^3 \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^3 du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^4}{4} + C = \frac{1}{8} (2x+3)^4 + C$

(3) $\int \frac{1}{(4x-3)^3} dx$

$u = 4x-3$ と置換すると、$du = 4dx$ より、$dx = \frac{1}{4}du$。

したがって、

$\int \frac{1}{(4x-3)^3} dx = \int \frac{1}{u^3} \cdot \frac{1}{4} du = \frac{1}{4} \int u^{-3} du = \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{8} (4x-3)^{-2} + C = -\frac{1}{8(4x-3)^2} + C$

(4) $\int \sqrt{2x+3} dx$

$u = 2x+3$ と置換すると、$du = 2dx$ より、$dx = \frac{1}{2}du$。

したがって、

$\int \sqrt{2x+3} dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} (2x+3)^{\frac{3}{2}} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2} \ln|2x+1| + C$

(2) $\frac{1}{8} (2x+3)^4 + C$

(3) $-\frac{1}{8(4x-3)^2} + C$

(4) $\frac{1}{3} (2x+3)^{\frac{3}{2}} + C$