与えられた関数 $y = \frac{1}{4}p^2q - 3pq^2r - qr^2$ について、$\frac{\partial y}{\partial p}$、$\frac{\partial y}{\partial q}$、$\frac{\partial y}{\partial r}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{1}{4}p^2q - 3pq^2r - qr^2$ について、$\frac{\partial y}{\partial p}$、$\frac{\partial y}{\partial q}$、$\frac{\partial y}{\partial r}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

偏微分は、一つの変数について微分する際に、他の変数を定数として扱うことで計算します。

* $\frac{\partial y}{\partial p}$ の計算

$y$ を $p$ で偏微分します。$q$ と $r$ は定数として扱います。

$\frac{\partial}{\partial p}(\frac{1}{4}p^2q) = \frac{1}{4} \cdot 2pq = \frac{1}{2}pq$

$\frac{\partial}{\partial p}(-3pq^2r) = -3q^2r$

$\frac{\partial}{\partial p}(-qr^2) = 0$

よって、

$\frac{\partial y}{\partial p} = \frac{1}{2}pq - 3q^2r$

* $\frac{\partial y}{\partial q}$ の計算

$y$ を $q$ で偏微分します。$p$ と $r$ は定数として扱います。

$\frac{\partial}{\partial q}(\frac{1}{4}p^2q) = \frac{1}{4}p^2$

$\frac{\partial}{\partial q}(-3pq^2r) = -3p \cdot 2qr = -6pqr$

$\frac{\partial}{\partial q}(-qr^2) = -r^2$

よって、

$\frac{\partial y}{\partial q} = \frac{1}{4}p^2 - 6pqr - r^2$

* $\frac{\partial y}{\partial r}$ の計算

$y$ を $r$ で偏微分します。$p$ と $q$ は定数として扱います。

$\frac{\partial}{\partial r}(\frac{1}{4}p^2q) = 0$

$\frac{\partial}{\partial r}(-3pq^2r) = -3pq^2$

$\frac{\partial}{\partial r}(-qr^2) = -q \cdot 2r = -2qr$

よって、

$\frac{\partial y}{\partial r} = -3pq^2 - 2qr$

3. 最終的な答え

$\frac{\partial y}{\partial p} = \frac{1}{2}pq - 3q^2r$

$\frac{\partial y}{\partial q} = \frac{1}{4}p^2 - 6pqr - r^2$

$\frac{\partial y}{\partial r} = -3pq^2 - 2qr$