与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} = xy + x + y + 1$ を初期条件 $y(0) = 1$ の下で解く。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} = xy + x + y + 1$ を初期条件 $y(0) = 1$ の下で解く。

2. 解き方の手順

与えられた微分方程式は変数分離形にできる。

まず、右辺を因数分解する。

$xy + x + y + 1 = x(y+1) + (y+1) = (x+1)(y+1)$

よって、微分方程式は以下のように書き換えられる。

$\frac{dy}{dx} = (x+1)(y+1)$

次に、変数分離を行う。

$\frac{dy}{y+1} = (x+1) dx$

両辺を積分する。

$\int \frac{dy}{y+1} = \int (x+1) dx$

$\ln|y+1| = \frac{1}{2}x^2 + x + C$

ここで、$C$ は積分定数である。

指数関数を取る。

$|y+1| = e^{\frac{1}{2}x^2 + x + C} = e^C e^{\frac{1}{2}x^2 + x}$

$y+1 = \pm e^C e^{\frac{1}{2}x^2 + x}$

$A = \pm e^C$ とおくと、

$y+1 = A e^{\frac{1}{2}x^2 + x}$

$y = A e^{\frac{1}{2}x^2 + x} - 1$

初期条件 $y(0) = 1$ を適用する。

$1 = A e^{\frac{1}{2}(0)^2 + 0} - 1$

$1 = A e^0 - 1$

$1 = A - 1$

$A = 2$

したがって、解は次のようになる。

$y = 2 e^{\frac{1}{2}x^2 + x} - 1$

3. 最終的な答え

$y = 2e^{\frac{1}{2}x^2 + x} - 1$