曲線 $y = x\sqrt{x}$ ($0 \le x \le 5$) の長さ $L$ を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = x\sqrt{x}$ ($0 \le x \le 5$) の長さ $L$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

曲線の長さの公式は

$L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} dx$

で与えられます。

まず、$y = x\sqrt{x} = x^{\frac{3}{2}}$ を $x$ で微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$

次に、$\left(\frac{dy}{dx}\right)^2$ を計算します。

$\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \left(\frac{3}{2}\sqrt{x}\right)^2 = \frac{9}{4}x$

したがって、$1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 1 + \frac{9}{4}x$ となります。

これを用いて、曲線の長さを表す積分は

$L = \int_{0}^{5} \sqrt{1 + \frac{9}{4}x} dx$

となります。

ここで、$u = 1 + \frac{9}{4}x$ とおくと、$du = \frac{9}{4} dx$ となり、$dx = \frac{4}{9} du$ となります。

積分範囲も変更します。$x = 0$ のとき $u = 1$、$x = 5$ のとき $u = 1 + \frac{9}{4}(5) = 1 + \frac{45}{4} = \frac{49}{4}$ となります。

したがって、積分は

$L = \int_{1}^{\frac{49}{4}} \sqrt{u} \frac{4}{9} du = \frac{4}{9} \int_{1}^{\frac{49}{4}} u^{\frac{1}{2}} du$

$L = \frac{4}{9} \left[\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}\right]_{1}^{\frac{49}{4}} = \frac{8}{27} \left[u^{\frac{3}{2}}\right]_{1}^{\frac{49}{4}} = \frac{8}{27} \left[\left(\frac{49}{4}\right)^{\frac{3}{2}} - 1^{\frac{3}{2}}\right]$

$L = \frac{8}{27} \left[\left(\frac{7}{2}\right)^3 - 1\right] = \frac{8}{27} \left[\frac{343}{8} - 1\right] = \frac{8}{27} \left[\frac{343 - 8}{8}\right] = \frac{8}{27} \left[\frac{335}{8}\right] = \frac{335}{27}$

3. 最終的な答え

$\frac{335}{27}$