次の定積分を求めます。 $\int_{0}^{1} x \sqrt{1 - x^2} \, dx$

1. 問題の内容

次の定積分を求めます。

$\int_{0}^{1} x \sqrt{1 - x^2} \, dx$

2. 解き方の手順

この積分を解くために、置換積分を行います。

$u = 1 - x^2$ と置くと、

$du = -2x \, dx$

したがって、 $x \, dx = -\frac{1}{2} du$ となります。

積分の範囲も変更します。

$x = 0$ のとき、$u = 1 - 0^2 = 1$

$x = 1$ のとき、$u = 1 - 1^2 = 0$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{1} x \sqrt{1 - x^2} \, dx = \int_{1}^{0} \sqrt{u} \left( -\frac{1}{2} \right) \, du$

$= -\frac{1}{2} \int_{1}^{0} u^{\frac{1}{2}} \, du$

$= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} u^{\frac{1}{2}} \, du$

$= \frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{1}$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{2}{3} (1)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} (0)^{\frac{3}{2}} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{2}{3} - 0 \right)$

$= \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$

$= \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}$