## 1. 問題の内容

##

1. 問題の内容

与えられた複数の2変数関数 $f(x, y)$ について、以下の問いに答えます。

1. 各関数について、1階の偏導関数 $f_x(x, y)$ と $f_y(x, y)$ を求めます。

2. 各偏導関数について、点 $(1, 2)$ における偏微分係数 $f_x(1, 2)$ と $f_y(1, 2)$ を求めます。ただし、偏微分が不可能な場合は「×」と答えます。

関数は以下のとおりです。

a) $f(x, y) = x^3y^2$

b) $f(x, y) = x^3 + y^3 + 4xy$

c) $f(x, y) = e^{2x + y^2}$

d) $f(x, y) = \ln(x^2 - y^2)$

e) $f(x, y) = (x^2 + y^2)(x^3 + y^3)$

f) $f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{4xy}$

##

2. 解き方の手順

各関数について、以下の手順で偏導関数と偏微分係数を計算します。

1. **偏導関数を計算する:**

* $f_x(x, y)$ は、$y$ を定数とみなして、$x$ で $f(x, y)$ を偏微分します。

* $f_y(x, y)$ は、$x$ を定数とみなして、$y$ で $f(x, y)$ を偏微分します。

2. **偏微分係数を計算する:**

* $f_x(1, 2)$ は、$f_x(x, y)$ に $x = 1$, $y = 2$ を代入します。

* $f_y(1, 2)$ は、$f_y(x, y)$ に $x = 1$, $y = 2$ を代入します。

3. **偏微分不可能性をチェックする:**

* 偏導関数が存在しない点、または計算結果が定義されない点 $(1, 2)$ では、「×」と答えます。例えば、分母が0になる場合や、対数の中身が負になる場合などが該当します。

以下、各関数について個別に計算を行います。

**a) $f(x, y) = x^3y^2$**

1. 偏導関数:

$f_x(x, y) = 3x^2y^2$

$f_y(x, y) = 2x^3y$

2. 偏微分係数:

$f_x(1, 2) = 3(1)^2(2)^2 = 12$

$f_y(1, 2) = 2(1)^3(2) = 4$

**b) $f(x, y) = x^3 + y^3 + 4xy$**

1. 偏導関数:

$f_x(x, y) = 3x^2 + 4y$

$f_y(x, y) = 3y^2 + 4x$

2. 偏微分係数:

$f_x(1, 2) = 3(1)^2 + 4(2) = 11$

$f_y(1, 2) = 3(2)^2 + 4(1) = 16$

**c) $f(x, y) = e^{2x + y^2}$**

1. 偏導関数:

$f_x(x, y) = 2e^{2x + y^2}$

$f_y(x, y) = 2ye^{2x + y^2}$

2. 偏微分係数:

$f_x(1, 2) = 2e^{2(1) + (2)^2} = 2e^6$

$f_y(1, 2) = 2(2)e^{2(1) + (2)^2} = 4e^6$

**d) $f(x, y) = \ln(x^2 - y^2)$**

1. 偏導関数:

$f_x(x, y) = \frac{2x}{x^2 - y^2}$

$f_y(x, y) = \frac{-2y}{x^2 - y^2}$

2. 偏微分係数:

$f_x(1, 2) = \frac{2(1)}{(1)^2 - (2)^2} = \frac{2}{1 - 4} = -\frac{2}{3}$

$f_y(1, 2) = \frac{-2(2)}{(1)^2 - (2)^2} = \frac{-4}{1 - 4} = \frac{4}{3}$

**e) $f(x, y) = (x^2 + y^2)(x^3 + y^3)$**

1. 偏導関数:

$f_x(x, y) = 2x(x^3 + y^3) + (x^2 + y^2)(3x^2) = 5x^4 + 2xy^3 + 3x^2y^2$

$f_y(x, y) = 2y(x^3 + y^3) + (x^2 + y^2)(3y^2) = 2yx^3 + 5y^4 + 3x^2y^2$

2. 偏微分係数:

$f_x(1, 2) = 5(1)^4 + 2(1)(2)^3 + 3(1)^2(2)^2 = 5 + 16 + 12 = 33$

$f_y(1, 2) = 2(2)(1)^3 + 5(2)^4 + 3(1)^2(2)^2 = 4 + 80 + 12 = 96$

**f) $f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{4xy}$**

1. 偏導関数:

$f_x(x, y) = \frac{2x(4xy) - (x^2 - y^2)(4y)}{(4xy)^2} = \frac{8x^2y - 4x^2y + 4y^3}{16x^2y^2} = \frac{4x^2y + 4y^3}{16x^2y^2} = \frac{x^2 + y^2}{4x^2y}$

$f_y(x, y) = \frac{-2y(4xy) - (x^2 - y^2)(4x)}{(4xy)^2} = \frac{-8xy^2 - 4x^3 + 4xy^2}{16x^2y^2} = \frac{-4xy^2 - 4x^3}{16x^2y^2} = \frac{-(x^2 + y^2)}{4xy^2}$

2. 偏微分係数:

$f_x(1, 2) = \frac{(1)^2 + (2)^2}{4(1)^2(2)} = \frac{1 + 4}{8} = \frac{5}{8}$

$f_y(1, 2) = \frac{-((1)^2 + (2)^2)}{4(1)(2)^2} = \frac{-(1 + 4)}{16} = -\frac{5}{16}$

##

3. 最終的な答え

a) $f_x(1, 2) = 12$, $f_y(1, 2) = 4$

b) $f_x(1, 2) = 11$, $f_y(1, 2) = 16$

c) $f_x(1, 2) = 2e^6$, $f_y(1, 2) = 4e^6$

d) $f_x(1, 2) = -\frac{2}{3}$, $f_y(1, 2) = \frac{4}{3}$

e) $f_x(1, 2) = 33$, $f_y(1, 2) = 96$

f) $f_x(1, 2) = \frac{5}{8}$, $f_y(1, 2) = -\frac{5}{16}$