2つの放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ と $y = x^2 + 1$、および2つの直線 $x = 1$ と $x = 2$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

2つの放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ と $y = x^2 + 1$、および2つの直線 $x = 1$ と $x = 2$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、どの関数が上にあるかを確認します。区間 $[1, 2]$ において、$y = x^2 + 1$ は $y = \frac{1}{2}x^2$ より常に大きいです。

したがって、面積 $S$ は次の定積分で与えられます。

$S = \int_{1}^{2} [(x^2 + 1) - (\frac{1}{2}x^2)] dx$

$S = \int_{1}^{2} (\frac{1}{2}x^2 + 1) dx$

積分を実行します。

$S = [\frac{1}{6}x^3 + x]_{1}^{2}$

$S = (\frac{1}{6}(2)^3 + 2) - (\frac{1}{6}(1)^3 + 1)$

$S = (\frac{8}{6} + 2) - (\frac{1}{6} + 1)$

$S = \frac{8}{6} + 2 - \frac{1}{6} - 1$

$S = \frac{7}{6} + 1$

$S = \frac{7}{6} + \frac{6}{6}$

$S = \frac{13}{6}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{13}{6}$