放物線 $y = x^2 - 3x + 5$ と直線 $y = 2x - 1$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 3x + 5$ と直線 $y = 2x - 1$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、放物線と直線の交点を求めます。

$x^2 - 3x + 5 = 2x - 1$ を解きます。

$x^2 - 5x + 6 = 0$

$(x - 2)(x - 3) = 0$

$x = 2, 3$

よって、交点の $x$ 座標は $x = 2, 3$ です。

次に、積分を計算して面積を求めます。

$S = \int_2^3 |(x^2 - 3x + 5) - (2x - 1)| dx$

$S = \int_2^3 |x^2 - 5x + 6| dx$

$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ であり、$2 \le x \le 3$ の範囲で $(x - 2) \ge 0$ かつ $(x - 3) \le 0$ であるため、$(x - 2)(x - 3) \le 0$ となります。したがって、$|x^2 - 5x + 6| = -(x^2 - 5x + 6) = -x^2 + 5x - 6$ となります。

$S = \int_2^3 (-x^2 + 5x - 6) dx$

$S = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 6x \right]_2^3$

$S = \left( -\frac{1}{3}(3^3) + \frac{5}{2}(3^2) - 6(3) \right) - \left( -\frac{1}{3}(2^3) + \frac{5}{2}(2^2) - 6(2) \right)$

$S = \left( -9 + \frac{45}{2} - 18 \right) - \left( -\frac{8}{3} + 10 - 12 \right)$

$S = \left( -27 + \frac{45}{2} \right) - \left( -\frac{8}{3} - 2 \right)$

$S = \left( -\frac{54}{2} + \frac{45}{2} \right) - \left( -\frac{8}{3} - \frac{6}{3} \right)$

$S = -\frac{9}{2} - \left( -\frac{14}{3} \right)$

$S = -\frac{9}{2} + \frac{14}{3}$

$S = -\frac{27}{6} + \frac{28}{6}$

$S = \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

面積 $S$ は $\frac{1}{6}$ です。