この問題は、パラメータ $t$ で表された曲線について、$x$ と $y$ の式が与えられています。$0 \le t \le 1$ の範囲で、$x = e^{-t}\cos(2\pi t)$ および $y = e^{-t}\sin(2\pi t)$ で定義される曲線を考察します。

1. 問題の内容

この問題は、パラメータ $t$ で表された曲線について、$x$ と $y$ の式が与えられています。$0 \le t \le 1$ の範囲で、$x = e^{-t}\cos(2\pi t)$ および $y = e^{-t}\sin(2\pi t)$ で定義される曲線を考察します。

2. 解き方の手順

問題文から、何を解くべきか、あるいは何が求められているのかが明確ではありません。しかし、与えられた式からいくつかの考察を行うことができます。

* **曲線について:** 与えられた式は平面上の曲線を表しています。$t$ が変化すると、$(x, y)$ 座標が変化し、曲線を描きます。

* **極座標との関係:** $x = r\cos\theta$ および $y = r\sin\theta$ という極座標の定義と比較すると、$r = e^{-t}$ および $\theta = 2\pi t$ と考えることができます。

* **$t$ の範囲:** $0 \le t \le 1$ であるため、曲線は $t=0$ から $t=1$ まで変化します。

* **螺旋:** $e^{-t}$ は減少関数であるため、$t$ が増加するにつれて、$r$ は減少します。$\theta = 2\pi t$ は $t$ に比例して増加するため、曲線は原点に向かって回転する螺旋を描きます。

いくつか具体的な点を計算してみましょう。

* $t = 0$ のとき、$x = e^{-0}\cos(2\pi \cdot 0) = 1 \cdot 1 = 1$ および $y = e^{-0}\sin(2\pi \cdot 0) = 1 \cdot 0 = 0$。つまり、曲線は点 $(1, 0)$ から始まります。

* $t = 1$ のとき、$x = e^{-1}\cos(2\pi \cdot 1) = e^{-1} \cdot 1 = \frac{1}{e}$ および $y = e^{-1}\sin(2\pi \cdot 1) = e^{-1} \cdot 0 = 0$。つまり、曲線は点 $(\frac{1}{e}, 0)$ で終わります。

3. 最終的な答え

この問題に対する明確な「答え」はありません。

$x = e^{-t}\cos(2\pi t)$、 $y = e^{-t}\sin(2\pi t)$ ($0 \le t \le 1$)で定義された曲線は、$(1,0)$ から始まり $(\frac{1}{e}, 0)$ で終わる螺旋の一部であると考察できます。